スーパーモジュラー生産、意外と書いてなかった

ざっくり言うと、

「生産に使う入力どうしが“補完関係（相性がいい）”になっているとき、その生産関数はスーパーモジュラーだ」

という話です。

1. 直感的な意味

2つの投入要素 (x, y)（たとえば「熟練労働」と「高度な機械」）を使って生産する関数 (f(x,y)) を考えます。

(x) を増やしたときの 限界生産性（どれだけ余計に産出が増えるか）が

(y) をたくさん使っているほど 大きくなる

→ 「(x) と (y) は補完的（相性がよい）」

この「限界生産性が互いを高め合う」性質を スーパーモジュラー（supermodular） と呼びます。(IDEAS/RePEc)

なので、スーパーモジュラー生産とは、

「投入要素どうしが補完的で、片方を増やすほどもう片方の“効き目”もよくなるような生産構造」

ぐらいに理解しておけばOKです。

2. もう少し形式的に（生産関数の場合）

生産関数 (f(x_1,\dots,x_n)) が十分なめらかだとします。このとき

[

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \ge 0 \quad (i \neq j)

]

がすべての組み合わせで成り立つとき、

(f) は スーパーモジュラーな生産関数 と呼ばれます。(ウィキペディア)

これは「投入要素 (x_j) を多く使っているほど、(x_i) を少し増やしたときの増産効果が大きくなる」＝増分が増えていく（increasing differences） という意味です。

3. 経済学的に何がうれしいのか

スーパーモジュラー生産関数だと、いろいろきれいな性質が出ます：

1. 要素需要の補完性

生産関数がスーパーモジュラーだと、ある要素の価格が下がったときに

その要素だけでなく「他の要素の需要も一緒に増える」ことが示せます。

（生産要素どうしが補完財になる）。(IDEAS/RePEc)

2. ポジティブ・アソーティブ・マッチング

マッチングモデル（たとえば高技能労働者と高性能機械、高学歴同士の結婚など）で、

生産（あるいは効用）関数がスーパーモジュラーだと

「能力の高いもの同士が組む方が効率的」＝正の相関マッチングが最適、

という結果が得られます（Becker型の結果）。(Leland D. Crane)

3. 比較静学（コンパラティブ・スタティックス）が単調になる

価格や技術などのパラメータを動かしたとき、最適解が「単調に動く」ことが保証しやすくなります

（Topkis, Milgrom & Roberts などの比較静学の理論）。(IDEAS/RePEc)

4. ごく簡単なイメージ例

例：IT投資（サーバやソフト） と 熟練エンジニア

IT投資だけ増やしても、優秀なエンジニアがいないと十分活かせない

逆に、優秀なエンジニアだけいても、古いシステムでは力が出ない

両方を一緒に増やすと、生産性の伸びが「足し算以上」になる

このような「まとめて増やした方が効率がよくなる」構造が、

スーパーモジュラー生産のイメージです。

もし「マッチング理論（Becker）との関係」や「サブモジュラー生産との違い」も知りたければ、そこも掘り下げて説明します。