ラグランジュの平均値の定理
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}=f'(c)
2つの実数a < b
関数f(x)
閉区間[a, b] で連続
開区間 (a, b) で微分可能
このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して以下が成り立つ:
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}=f'(c)
これを微分に関するラグランジュの平均値の定理という。
別表現として、ある 0 < \theta < 1が存在して
f(a + h) = f(a) + h f'(a + \theta h)
以下の書き換えが行われているだけb = a + h, c = a + \theta h
ラグランジュの平均値の定理により \log(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x}
なぜなら
a = 1, h = x として
\log(1+x) = \log(1) + x \log'(1 + \theta x)
\log'(x) = 1/x, \log(1) = 0なので
\log(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x}
log(x)はx=0で微分できないので、xの絶対値は1より小さいことが必要
"Engineer's way of creating knowledge" the English version of my book is now available on [Engineer's way of creating knowledge]
(C)NISHIO Hirokazu / Converted from [Scrapbox] at [Edit]