中位投票者定理とは多数決で一つの連続的政策（左右・増減など 1 次元）を選ぶとき、有権者の選好が「単峰型（single‑peaked）」で、すべての人が必ず投票に参加するという前提のもとでは、「社会的に採択される政策は中位（メディアン）有権者が最も好む点になる」と示す定理です。

前提条件

1. 政策が一次元

例：税率を 0〜100% で一本化

多くの争点は複数軸（経済・社会・外交…）

2. 選好が単峰型

それぞれ「ここが最適、離れるほど嫌」

イデオロギーが極端／跳ねる場合は不成立

3. 完全参加・誠実投票

全員が本音で投票

棄権・戦略投票・情報の非対称性

直感的な証明スケッチ

有権者を政策軸で並べる。

中位点より右側の有権者は、左側の案より右側の案を常に好む（逆も同様）。

したがって中位点を越えて右へ動くと、左半分＋中位の票が失われ過半数を得られなくなる。左へ動いても同じ。

右へ少し動かすとどうなる？

中位の人は不満（元の位置が最適だった）。

中位より左にいる全員ももっと不満。

その人数だけで過半数超えになる → 反対票が過半数、採択できない。

結論

中位点を離れると必ず過半数が反対に回るので、中位点が唯一“動かせない”安定点になる。

結果として 中位点 が多数決で安定（ナッシュ安定）する。

政治への含意

政策の収斂：選挙で勝ちたい政党は中位有権者を意識し、極端な公約を薄める傾向（ダウンズ 1957）。

二大政党制の安定要因：一次元であれば両者が中央値争奪に集中しやすい。

ポピュリズム vs. 中道：中位点が変動すると政党のポジションも急に動くため、世論のシフトが政策を大きく揺らすことがある。

限界・批判

多次元化すると崩れる

2 軸以上では「投票のパラドックス」（循環多数決）が発生しやすい。

戦略投票

候補数が 3 以上だと「逃げ馬」への票などで結果が動く（ギブンスの定理）。

投票コスト・棄権

実際の選挙では参加率が偏り、中位投票者≠中位有権者となる。

情報とフレーミング

同じ政策でも提示方法で単峰性が崩れ得る。

まとめ

中位投票者定理は「一次元・単峰型・完全参加」というシンプルな環境で、多数決が安定点を持つことを示す強力な結果です。ただし実際の政治は多次元・戦略行動・不完全情報が絡むため、近似的な指針として捉え、どの前提が破れているかを常に検証する姿勢が重要です。