平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}の理由
平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由
斜辺をcとする
三角形の面積は2通りの方法で表現できる
a b /2= c h/2
a^2 b^2 = c^2 h^2
a^2 b^2 = (a^2 + b^2) h^2
1 / h^2 = (a^2 + b^2) / a^2 b^2 = a^2 / a^2 b^2 + b^2 / a^2 b^2 = 1 / a^2 + 1 / b^2
直径がdである時円周はpi d
円周が2なので直径は 2/pi
逆二乗なのでpi^2 / 4
2倍の直径、2倍の円周の、1/2の中心角に対する弧長なので同じ長さ
中心角が1/2であることの説明
奇数の平方数の和がpi^2/8なのがわかった
平方数の和がSとすると、偶数の平方数の和は1/4 S
基数の平方数の和はS - 1/4 S= 3/4 S
なのでS = \frac{\pi^2}{8} \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}
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