スーパーモジュラー生産
スーパーモジュラー生産、意外と書いてなかった
ざっくり言うと、
「生産に使う入力どうしが“補完関係（相性がいい）”になっているとき、その生産関数はスーパーモジュラーだ」
という話です。
- 直感的な意味 2つの投入要素 (x, y)（たとえば「熟練労働」と「高度な機械」）を使って生産する関数 (f(x,y)) を考えます。
- (x) を増やしたときの 限界生産性（どれだけ余計に産出が増えるか）が (y) をたくさん使っているほど 大きくなる → 「(x) と (y) は補完的（相性がよい）」
- この「限界生産性が互いを高め合う」性質を スーパーモジュラー（supermodular） と呼びます。(IDEAS/RePEc) なので、スーパーモジュラー生産とは、 「投入要素どうしが補完的で、片方を増やすほどもう片方の“効き目”もよくなるような生産構造」 ぐらいに理解しておけばOKです。
もう少し形式的に（生産関数の場合） 生産関数 (f(x_1,\dots,x_n)) が十分なめらかだとします。このとき [ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \ge 0 \quad (i \neq j) ] がすべての組み合わせで成り立つとき、 (f) は スーパーモジュラーな生産関数 と呼ばれます。(ウィキペディア) これは「投入要素 (x_j) を多く使っているほど、(x_i) を少し増やしたときの増産効果が大きくなる」＝増分が増えていく（increasing differences） という意味です。
経済学的に何がうれしいのか スーパーモジュラー生産関数だと、いろいろきれいな性質が出ます：
要素需要の補完性 生産関数がスーパーモジュラーだと、ある要素の価格が下がったときに その要素だけでなく「他の要素の需要も一緒に増える」ことが示せます。 （生産要素どうしが補完財になる）。(IDEAS/RePEc)
ポジティブ・アソーティブ・マッチング マッチングモデル（たとえば高技能労働者と高性能機械、高学歴同士の結婚など）で、 生産（あるいは効用）関数がスーパーモジュラーだと 「能力の高いもの同士が組む方が効率的」＝正の相関マッチングが最適、 という結果が得られます（Becker型の結果）。(Leland D. Crane)
比較静学（コンパラティブ・スタティックス）が単調になる 価格や技術などのパラメータを動かしたとき、最適解が「単調に動く」ことが保証しやすくなります （Topkis, Milgrom & Roberts などの比較静学の理論）。(IDEAS/RePEc)
ごく簡単なイメージ例
- 例：IT投資（サーバやソフト） と 熟練エンジニア
- IT投資だけ増やしても、優秀なエンジニアがいないと十分活かせない
- 逆に、優秀なエンジニアだけいても、古いシステムでは力が出ない
- 両方を一緒に増やすと、生産性の伸びが「足し算以上」になる このような「まとめて増やした方が効率がよくなる」構造が、 スーパーモジュラー生産のイメージです。
もし「マッチング理論（Becker）との関係」や「サブモジュラー生産との違い」も知りたければ、そこも掘り下げて説明します。