$E[X+Y] = E[X] + E[Y]$
$E\left[\sum_i X_i\right] = \sum_iE[X_i]$
証明
<ul>
<li>$E[X + Y] = \sum_x\sum_y (x + y) P(X=x, Y=y)$ ... <a href="/ja/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9">期待値の定義</a></li>
<li>$= \sum_x\sum_y x P(X=x, Y=y) + \sum_x\sum_y y P(X=x, Y=y)$ ... <a href="/ja/%E8%B6%B3%E3%81%97%E7%AE%97%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F%E3%81%AE%E5%A4%89%E6%9B%B4">足し算の順序の変更</a></li>
<li>$= \sum_x x \sum_y P(X=x, Y=y) + \sum_y y \sum_x P(X=x, Y=y)$ ... 定数の括りだし</li>
<li>$= \sum_x x P(X=x) + \sum_y y P(Y=y)$ ... <a href="/ja/%E5%91%A8%E8%BE%BA%E5%8C%96">周辺化</a></li>
<li>$= E[X] + E[Y]$ ... <a href="/ja/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9">期待値の定義</a></li>
</ul>
<a href="/ja/%E5%9B%9E%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4">回数の期待値</a>
<ul>
<li><a href="/ja/%E5%9B%9E%E6%95%B0%E3%81%AF%E5%92%8C">回数は和</a>
</li>
<li>$#{x\in X | f(x) } = \sum_{x\in X} [f(x)]$
</li>
<li><img src="https://gyazo.com/815c8001c4a4f32e92c5b96b004c4ef1/thumb/1000" alt="image">
</li>
<li>$E_Y\left[\sum_{x\in X} [f(x, y)] \right] = \sum_{y\in Y}\sum_{x\in X} [f(x, y)]p(Y=y) = \sum_{x\in X} E_Y<a href="/ja/f(x%2C%20y)">f(x, y)</a>$
</li>
<li>これは周辺化してないな…
</li>
</ul>
<a href="/ja/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4%E3%81%AE%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E6%80%A7">期待値の線形性</a>
<a href="/ja/%E6%BC%94%E7%AE%97%E9%A0%86%E5%BA%8F%E3%81%AE%E5%A4%89%E6%9B%B4">演算順序の変更</a>

和の期待値は期待値の和