形式的べき級数の逆元を使った無限和圧縮

形式的べき級数の逆元を使った無限和圧縮

• 多項式・形式的べき級数（２）式変形による解法の導出 | maspyのHPの一節を自分に理解できるところまで噛み砕いたもの

• 逆元

  • $A = \sum_{n=0}^\infty x^n$
  • $B = 1-x$
  • この時$A \times B = 1$が成り立つ
    • $A = 1 + x + x^2 + \ldots$ (1)
    • $xA = x + x^2 + \ldots$ (2)
    • $(1-x)A = 1$ (1) - (2)
    • 等比数列の和の計算でよくやるテクニック
  • 一般にFが$[x^0]F = 0$であるような定数項を持たない形式的べき級数の時、
    • $(1-F) \times (\sum_{n=0}^\infty F^n) = 1$
    • この証明には形式的べき級数環に位相を定義して、収束を定義する必要がある

【問題】Nを正の整数の和として表す方法を数え上げよ。ただし、和の順序の違いは区別する。

• $F = \sum_{n=1}^\infty x^n$,$G = \sum_{n=0}^\infty F^n$とした時
• $[x^n]G$ が答え
• Gの無限和を逆元で置き換える
  • $G = \sum_{n=0}^\infty F^n = \frac{1}{1 - F}$
• Fの無限和も逆元で置き換える
  • $F = \sum_{n=1}^\infty x^n = \sum_{n=0}^\infty x^{n+1} = x\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$
• FをGに代入する
  • $G = \frac{1}{1 - F} = \frac{1}{1-\frac{x}{1-x}} = (1-x) \frac{1}{1-2x}$
• ここで$2x$の部分は形式的べき級数なので無限和に戻すことができる、これをJと呼ぶことにする
• $J = \frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^\infty (2x)^n$
  • $[x^n]J = 2^n$ である
  • ここから$[x^n] G = x^nJ = [x^n]J - [x^{n-1}]J = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$