耐戦略性の定義
耐戦略性の定義 from メカニズムデザイン(書籍)
基礎概念
個人の集合$I = {1, 2, \ldots, n }$
帰結の集合$X$
選好:$\succsim$
- 選好はもっぱら個人iの選好$\succsim_i$の形で使われるが定義に際してはiは関係ないので添字を省いた
- 3つの条件を満たすX上の二項関係
- 反射性$\forall x \in X, x \succsim x$
- 推移性$\forall x, y, z \in X, x \succsim y \wedge y \succsim z \Rightarrow x \succsim z$
- 完備性 $\forall x, y \in X, x \succsim y \vee y \succsim x$
- 関連 順序集合
- 選好の対象部分
- $\forall x,y \in X, x \sim y \Leftrightarrow x \succsim y \wedge y \succsim x$
- 選好の非対称部分
- $\forall x,y \in X, x \succ y \Leftrightarrow x \succsim y \wedge y \not\succsim x$
- 選考の非対称性
- $\forall x,y \in X, x \sim y \Leftrightarrow x = y$
- 相異なる2要素が同程度に好まれることはない
- こういう選好を「強選好」と呼ぶ(線形選好と呼ぶ人もいるがこの本では誤解を避けて使わない)
X上の選好すべての集合$\mathscr{R}$
個人iが取りうる選好$\mathscr{D}_i \subseteq \mathscr{R}$を選好集合と呼ぶ
- 個人によって異なりうる定式化になってるが、具体的な問題によってはもちろん同一にもなりうる。例えば3人の候補者から1人選ぶ投票を考える時は各個人の取りうる選好は当然同一である
個人iの選好: $\succsim_i \in \mathscr{D}_i$
- 二項関係が「二項関係の集合」の要素なだけだが、脳内でパースエラーを起こしそうだ
- $X$上の二項関係Rは、そもそも順序対$X^2$の部分集合に過ぎない: $x R y \Leftrightarrow (x, y) \in R$
ドメイン: $\mathscr{D}_I \equiv \mathscr{D}_1 \times \mathscr{D}_2 \times \cdots \times \mathscr{D}_n$
選好組: $\succsim \equiv (\succsim_1, \succsim_2, \ldots, \succsim_n) \in \mathscr{D}_I$
社会的選択対応とは非空対応 $F: \mathscr{D}_I \twoheadrightarrow X$のこと
- ドメインから帰結への対応
- 「対応」$\twoheadrightarrow$とは？
- $F: X \twoheadrightarrow Y$のとき$\forall x \in X, F(x) \subset Y$
- 関数と比較してみよう
- $f: X \rightarrow Y$のとき$\forall x \in X, f(x) \in Y$
- $F, G : X \twoheadrightarrow Y$ が$F \subseteq G \Leftrightarrow [F(x) \subseteq G(x) \forall x \in X]$のときFはGの「部分対応」と呼ぶ
- $F : X \twoheadrightarrow Y, f: X \rightarrow Y$が$f \in F \Leftrightarrow [f(x) \in F(x) \forall x \in X]$のときfはFの「セレクション」と呼ぶ
- 非空とは対応の終域が空でないということ
- 空だと「どの帰結もダメだ！」となるから都合が悪い、たぶん。
社会的選択関数
- 社会的選択対応Fが常に一つの帰結を与える時、Fを社会的選択関数と呼び、fで表す。
- 「社会的選択対応Fが常に一つの帰結を与える」とは$\forall \succsim \in \mathscr{D}_I, |F(\succsim)| = 1$
耐戦略性(戦略的操作不可能性)
- $\forall i\in I, \succsim \in \mathscr{D}_I, \succsim_i' \in \mathscr{D}i, f(\succsim) \succsim_i f(\succsim_i', \succsim{-i})$
- つまりどのような選好組($\succsim$)においても、以下が成り立つ
- 誰か一人iの選好$\succsim_i$を別の選好$\succsim_i'$に置き換えても、その結果得られる帰結$f(\succsim_i', \succsim_{-i})$は置き換えなかった場合に得られる帰結$f(\succsim)$よりiに好まれることはない
- どの個人iにとっても、嘘をついて自分の本当の選好$\succsim_i$以外の選好$\succsim_i'$を申告しても、自分にとってより好ましい帰結が得られることがない。