負の二項定理

$(1-x)^{-d} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+d-1}{d-1}x^n$ other form:

• $1/(1-x)^{d+1} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+d}{d}x^n$

証明 数学的帰納法を使うためにdで成立していると仮定してd+1での成立を示す

両辺を形式的べき級数の形式微分する $-d\cdot (1-x)^{-d-1} \cdot (-1) = \sum_{n=0}^\infty (n+1)\binom{n+d}{d-1}x^n$ 両辺をdで割って整理する $(1-x)^{-(d+1)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{d}\binom{n+d}{d-1}x^n$ 二項係数の定義

• $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ から $\binom{n+d}{d-1} = \frac{(n+d)!}{(d-1)!(n+1)!}$ なので $\frac{n+1}{d}\binom{n+d}{d-1} = \frac{(n+d)!(n+1)}{d (d-1)! (n+1)!} = \frac{(n+d)!}{d! n!} = \binom{n + d}{d}$ 整理すると $(1-x)^{-(d+1)} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+(d+1) -1}{(d+1)-1}x^n$ よってd+1で成立することが示された

d=1の場合 $(1-x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n}{0}x^n = \sum_{n=0}^\infty x^n$ これは形式的べき級数の逆元を使った無限和圧縮#5f0a99d3aff09e00008d4555で示した

多項式・形式的べき級数（３）線形漸化式と形式的べき級数 | maspyのHP