ゼータ変換/メビウス変換20201105
注意: このメモは理解を固める過程のメモなので間違いが含まれる可能性があります
\zeta (s)=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{n^s}
これはディリクレ級数(Dirichlet級数)の一種
D_A(s) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{A_i}{n^s}
ディリクレ級数の積と、数列の積に関する畳み込みは対応する
D_A(s)D_B(s) = D_C(s) \iff C_k = \sum_{ij=k} A_iB_j
ゼータ関数のディリクレ積での逆元とメビウス関数
\frac{1}{\zeta (s)}= \sum^{\infin}_{n=1} \frac{\mu(n)}{n^s}
ゼータ関数から約数和関数が作れる(how?)
隣接代数のゼータ関数/メビウス関数
隣接代数: 任意の局所有限な半順序集合と単位元を持つ可換環に対して定義される結合多元環(what?)
具体的には集合のべき集合など
隣接代数の元は、空でない各区間 [a, b] に対してスカラー f(a, b) を対応させる関数
隣接代数の「積」は以下の畳み込みで定義する
(f*g)(a,b)=\sum _{{a\leq x\leq b}}f(a,x)g(x,b)
ここであるfとゼータ関数の積を考える
(f*\zeta)(a,b)=\sum _{{a\leq x\leq b}}f(a,x)\zeta(x,b) = \sum _{{a\leq x \leq b}}f(a,x)
これは累積和(？)
f(0, x)をF_x と書くことにすれば
(F*\Zeta)_b = (f*\zeta)(0,b) = \sum_{{0\leq x \leq b}}f(0,x) = \sum _{{0\leq x \leq b}}F_x
確かにこれは累積和っぽい見た目だけど…
この二つの世界は無関係ではない
「数列の畳み込みってディリクレ級数の積だよね」という関係で繋がってる(really?)
包除原理の話題で高速メビウス変換が出てくる時、しばしばsum over subsets
\sum_{T\subset S} f(T)
これと今までの話との繋がりがわかりにくい
メビウス関数の値が非ゼロであるような自然数nは、集合であると見なすことができる。
各素因数を最大1個しか含まないからね。
するとnの約数をわたる和ってのは部分集合を渡る和と同一視できることになる。
\sum_{T\subset S} f(T) = \sum_{d|N} f'(d)
つまり最初に「よくわからないな」と思ったのは、僕にとって自明に同一視されない3つの概念が1つの言葉で呼ばれていたからであって、それぞれを明確にして対応づけの方法を明確にしたら「わかった」という気持ちになったわけだ。つまり最初に「よくわからないな」と思ったのは、僕にとって自明に同一視されない3つの概念が1つの言葉で呼ばれていたからであって、それぞれを明確にして対応づけの方法を明確にしたら「わかった」という気持ちになったわけだ。
今の未解決ポイント
隣接代数の話を出さなくてもリーマンゼータとの畳み込みを式変形したら累積和の形になるのでは？
隣接代数の順序
集合の包含関係は半順序
自然数の「約数である」関係は半順序
集合と自然数の対応づけ
集合の間の包含関係と、自然数の間の「約数である」関係が対応しているのがわかる
自然数の上の話と、数列やディリクレ級数の上の話と、集合の上の話がある。
メビウスの反転公式も少しずつ見た目が違う。
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