Amir, R. (2005). Supermodularity and complementarity in economics: An elementary survey. Southern Economic Journal, 71(3), 636-660. PDF

本文は、経済学における超モジュラー最適化とゲームの文献を、潜在的利用者の観点から概観したものです。この方法論は比較静学のための新しいアプローチを提供し、戦略的補完性を持つゲームの一般的な分析を可能にします。結果は、格子理論を参照せずに、パラメータと行動の集合が1次元の特殊なケースについて、簡略化されつつも厳密な方法で提示され、広いアクセス可能性に重点が置かれています。消費者行動、独占の価格転嫁、ベルトランとクールノー競争、戦略的R&D、検索、マッチングの有名なモデルについて詳細な応用が示されています。適切な場所では、応用のための有用なコツと比較コメントが挿入されています。

主要なポイントは以下の通りです。

超モジュラー最適化は、パラメータの変化が最適化モデルの内生変数にどう影響するかを決定する新しい比較静学の方法論である。

最適解の単調性のために重要な前提だけを必要とし、古典的方法で必要とされる平滑性、内点解、凹性などの余計な前提を排除できる。

ゲームの戦略的補完性の下では、均衡点の存在と比較静学が確立される。

秩序概念による補完性条件も提示され、より弱い条件で単調比較静学が示される。

消費者行動、独占、寡占、R&Dなど、経済学の様々な分野への応用が論じられている。

結論として、この方法論は経済モデルの比較静学分析の適用範囲を大きく拡大するものであると述べられています。

わからない単語が多い、大学生向けに解説して

はい、経済学を学ぶ大学生向けに、もう少しわかりやすく解説しますね。

経済学では、ある変数（例えば価格）の変化が、他の変数（例えば需要量）にどのような影響を与えるかを分析することがよくあります。これを比較静学分析と呼びます。

従来の比較静学分析では、モデルが数学的に「きれい」であること（例えば、関数が滑らかで微分可能、解が内点解であるなど）を仮定する必要がありました。しかし、現実の経済問題では、そのような仮定が成り立たないことも多いのです。

この論文で紹介されている「超モジュラー最適化」という手法は、そのような厄介な数学的仮定なしに、比較静学分析を行うことを可能にします。この手法の鍵となるのが、「戦略的補完性」という概念です。

ゲーム理論では、プレイヤーの戦略が互いに補完的であるとき、「戦略的補完性」があるといいます。例えば、ある企業が広告宣伝を増やせば、他の企業もそれに応じて広告宣伝を増やすインセンティブが生まれます。このとき、企業の戦略には戦略的補完性があります。

超モジュラー最適化の手法を用いれば、戦略的補完性がある状況では、均衡点の存在と、均衡点がパラメータの変化に対してどのように変化するか（比較静学）が保証されるのです。

この手法は、ミクロ経済学、産業組織論、マクロ経済学など、経済学のさまざまな分野に応用できます。例えば、企業の価格設定行動、研究開発投資、消費者の選択行動など、現実の経済問題の分析に役立つのです。

従来の比較静学分析の手法では分析が難しかった問題も、超モジュラー最適化の手法を使えば分析可能になる、というのがこの論文の主張です。数学的な詳細は難しいかもしれませんが、基本的なアイデアは理解できたでしょうか。経済学の分析手法の発展によって、より現実に即した経済分析が可能になる、ということが重要なポイントです。

「ネットワーク財」という言葉を聞いたことがあるが、どういう関係？

「ネットワーク財」と超モジュラー最適化の関係についてお話しますね。

ネットワーク財とは、その財の価値が、それを使用している人の数に依存するような財のことです。例えば、電話やSNS、オンラインゲームなどがネットワーク財に当たります。電話の例で考えると、電話を使う人が増えれば増えるほど、電話をかける相手が増え、電話の価値が高まりますよね。

このネットワーク財の特徴は、まさに「戦略的補完性」と密接に関係しています。ある人が電話を使えば、他の人も電話を使おうとするインセンティブが生まれます。つまり、ユーザーの行動に戦略的補完性があるのです。

超モジュラー最適化の手法は、このようなネットワーク財の分析にも応用できます。例えば、ネットワーク財の価格設定問題を考えてみましょう。ネットワーク財の場合、ユーザー数が増えれば財の価値が高まるため、価格を下げてユーザー数を増やすことが最適な戦略になることがあります。この最適価格がどのように決まるかを分析する際に、超モジュラー最適化の手法が役立つのです。

また、ネットワーク財の普及プロセスの分析にも、この手法は応用できます。ある財が社会に広く普及するかどうかは、初期の採用者数が重要な役割を果たします。超モジュラー最適化の手法を使えば、どのような条件下で財が急速に普及するか（いわゆる「臨界点」を超えるか）を分析することができます。

このように、ネットワーク財の分析は、超モジュラー最適化の重要な応用分野の一つなのです。ネットワーク財は現代経済において非常に重要な役割を果たしているため、その経済分析の手法を発展させることは、経済学にとって大きな意義があると言えるでしょう。

それを踏まえてBeyond Public and Privateを解説して

はい、このホワイトペーパーの内容を踏まえて、「ネットワーク財」と「超モジュラー財」の関係について解説します。

このホワイトペーパーの主張は、技術の進歩により、多くの財が「超モジュラー財」の性質を持つようになってきているということです。超モジュラー財とは、多くの人に同時に提供する方が、個別に提供するよりも効率的な財のことです。つまり、規模の経済性が働く財だと言えます。

伝統的な「ネットワーク財」の概念は、この超モジュラー財の一部と捉えることができます。電話やSNSなどのネットワーク財は、利用者が増えるほど価値が高まるという性質を持っており、これは超モジュラー性の一種です。

しかし、このホワイトペーパーが主張するのは、ネットワーク財だけでなく、より広範な財が超モジュラー性を持つようになってきているということです。例えば、公衆衛生、デジタルインフラ、科学研究などは、皆で共有する方が効率的であり、超モジュラー財の性質を持っています。

問題は、現在の経済システムが、このような超モジュラー財の提供に適していないということです。資本主義は、私的財産権に基づく取引に適していますが、超モジュラー財の共同提供には適していません。そのため、超モジュラー財は過小供給されたり、私的に独占されたりする傾向があります。

このホワイトペーパーは、超モジュラー財の提供と管理のために、新しい集合的意思決定メカニズムが必要だと主張しています。公的部門、私的部門、コミュニティが協力し、民主的な意思決定、市場メカニズム、コミュニティガバナンスを組み合わせることが必要だとしています。

つまり、ネットワーク財は超モジュラー財の一部ですが、問題はより広範であり、経済システム全体の変革が必要だというのが、このホワイトペーパーの主張です。超モジュラー財の適切な提供と管理は、技術の進歩に伴ってますます重要な課題になっていくでしょう。

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つまり、電話やインターネットのような「わかりやすいネットワーク効果」が注目されて、ネットワーク財という言葉ができてから「似た特徴を持つものはもっとたくさんあるよね」となって概念が広がって来ている。その広がった概念を「ネットワーク財」と呼び続ける人と、新しく「超モジュラー財」と呼ぶ人とがいる、という状況だな。

Supermodularの数学的概念は連続関数の特徴の一般化だと思う。それと"Supermodularity in economics and game theory"の章を解説して

ご指摘の通り、数学的には、supermodularは連続関数の特徴を一般化した概念と言えます。

連続関数fについて、全ての点x, yにおいて、

f(max(x, y)) + f(min(x, y)) ≥ f(x) + f(y)

が成り立つとき、fはsupermodularであると定義されます。ここでmax(x, y)とmin(x, y)は、xとyの各成分ごとの最大値と最小値を表します。

直感的には、supermodularな関数は、変数が同時に増加したときの関数値の増加量が、変数がそれぞれ単独で増加したときの関数値の増加量の和よりも大きくなる性質を持っています。つまり、変数間に相乗効果があるような関数だと言えます。

経済学やゲーム理論への応用については、"Supermodularity in economics and game theory"の章で説明されています。

この章では、複数のプレイヤーが参加する対称なゲームを考えています。各プレイヤーiの行動をzi、利得関数をfとします。このとき、fがsupermodularであれば、あるプレイヤーiがziを増加させると、他の全てのプレイヤーjにとって、zjを増加させる誘因が高まります。これを経済学では戦略的補完性(strategic complementarity)と呼びます。

逆にfがsubmodular（-fがsupermodular）であれば、あるプレイヤーがziを増加させると、他のプレイヤーはzjを減少させる誘因を持ちます。これを戦略的代替性(strategic substitutability)と呼びます。

例えば、複数の企業の生産量決定を考えると、ある企業が生産量を増やしたときに他の企業の限界収入が上がるなら戦略的補完性があり、逆に限界収入が下がるなら戦略的代替性があることになります。

このように、supermodularityの概念は、ゲームの均衡の性質を分析するための強力なツールとなっています。特に、均衡の多重性や、均衡が変数の変化に対してどのように反応するかを調べる比較静学の分析に役立ちます。

下記のノートとの関連を説明して

ご指摘の通り、「Fat Protocol」概念と財の分類、そしてクリプトエコノミクスによる統治技術は密接に関連しています。

「Fat Protocol」概念は、ネットワーク外部性、パーミッションレス、徴税能力を持つプロトコルの重要性を指摘しています。これは、「コモンズ財・コモンプール財・準公共財」に徴税能力（競争的排除性）を持たせることで、公共財への投資を可能にするという考え方と重なります。

具体的には、混雑するものに課税をするという原則に基づき、優先的なトランザクションやMEV、ENS、ステータスシンボルなどに対して、Partial Common Ownershipを導入することで、手数料を発生させることができます。そして、その手数料収入を、純粋公共財や反競合性を持つプロトコルへの助成金として分配することで、公共財への投資を実現できます。

この助成金の分配方法としては、Gitcoin Grants RoundのMatching PoolやRetroactive Public Goods FundingのTreasuryへの送金、さらにはHypercertsによるFutarchy的な投資家の目利きの導入などが挙げられています。

これらの仕組みは、クリプトエコノミクスという統治技術を用いて、コミュニティ内で公共財への投資を可能にするものです。つまり、有限の財をある程度市場原理で回しつつ、そこから得られた収益を公共財へと再分配することで、win-win-winの関係を築くことができるのです。

このような考え方は、山古志DAOのような事例にも応用可能であり、コミュニティ内で公共財の資金調達を行うためのDeGovの必要性を示唆しています。

Supermodular goodsとの関係は？

Supermodular goodsとの関係についても述べておきましょう。

Supermodular goodsとは、多くの人に同時に提供する方が、個別に提供するよりも効率的な財のことを指します。つまり、規模の経済性が働く財です。ネットワーク財はSupermodular goodsの一種と言えます。

「Fat Protocol」概念が指摘するネットワーク外部性は、まさにSupermodular goodsの性質を表しています。ネットワークの利用者が増えるほど、そのネットワークの価値が高まるという性質は、Supermodular goodsに共通するものです。

また、Supermodular goodsは、私的財産権による供給では非効率になりがちです。なぜなら、Supermodular goodsの価値は、それを共有する人が多いほど高まるからです。そのため、パーミッションレスで誰もが利用できるようにすることが、Supermodular goodsの価値を最大化するためには重要になります。

さらに、Supermodular goodsに徴税能力を持たせることで、そこから得られる収益を公共財の供給に回すことができます。これは、前述の「コモンズ財・コモンプール財・準公共財」に徴税能力を持たせて公共財への投資を可能にするという考え方と重なります。

つまり、「Fat Protocol」概念が指摘するネットワーク外部性、パーミッションレス、徴税能力は、Supermodular goodsの性質を活かして、公共財の供給を可能にするための重要な要素なのです。

このように、Supermodular goodsの概念は、「Fat Protocol」概念や財の分類、クリプトエコノミクスによる統治技術と密接に関連しており、これらを理解する上で重要な視点を提供してくれます。

上記ノートの中では供給側の規模の経済と需要側の規模の経済を分けて論じたところが面白いと思った

その観点は非常に重要だと思います。供給側と需要側で規模の経済がどう働くかを分けて考えることで、財の性質とその最適な供給方法がより明確になります。

供給側の規模の経済は、生産量が増えるほど1単位あたりのコストが下がることを意味します。これは自然独占につながる性質で、電力・ガス・水道などがその典型例です。このような財は、独占的に供給される傾向にあります。

一方、需要側の規模の経済は、ネットワーク外部性と同じ概念です。利用者が増えるほど、その財の価値が高まることを意味します。SNSや電話網、プロトコルなどがその例です。このような財は、オープンで誰もが利用できるようにすることが、その価値を最大化するために重要になります。

そして、供給側と需要側の規模の経済が混在する財も存在します。例えば、プラットフォーム型のビジネスがそうです。プラットフォームは、供給側の規模の経済を活かしてインフラを独占的に提供しつつ、需要側のネットワーク外部性を活かしてより多くの利用者を惹きつけるというビジネスモデルを取ります。

クリプトエコノミクスの文脈では、供給側の規模の経済は、ブロックチェーンのインフラ層（例：イーサリアムのコンセンサスレイヤー）に、需要側の規模の経済は、そのインフラ上に構築されるアプリケーション層（例：DeFiプロトコル）に対応すると考えられます。

インフラ層は、ある程度の中央集権化と排除性を持つ一方で、アプリケーション層は、オープンでパーミッションレスであることが求められます。そして、アプリケーション層での経済活動から生まれる手数料を、インフラ層の維持・発展や公共財の供給に回すことで、エコシステム全体の持続可能性を高めることができるでしょう。

このように、供給側と需要側の規模の経済を分けて考えることは、財の性質を理解し、その最適な供給方法を設計する上で非常に有用な視点だと言えます。ご指摘の通り、そのあたりの議論は非常に興味深いポイントだと思います。

ネットワーク効果の概念も疑問視されてるよね: The Dynamics of Network Effects | Andreessen Horowitz

はい、その通りですね。この記事は、ネットワーク効果の概念自体は否定していませんが、従来の理解とは異なる、より動的な見方が必要だと主張しています。

著者は、かつてのようなWinner-take-allの市場ではなく、同じようなネットワーク効果を持つ企業が市場を分け合う状況が見られると指摘しています。また、一度市場で優位に立ったように見えた企業でも、新規参入者やコピー企業に脅かされているという現状があります。

ただし、これはネットワーク効果の概念自体が無効になったわけではありません。むしろ、ネットワーク効果はこれまで以上に動的に変化しているのです。企業は自社のネットワーク効果が現在どのような状態にあり、将来どのように変化していくかを理解する必要があります。

具体的には、以下の3つの観点から自社のネットワーク効果を分析・予測することが重要だと述べられています。

1. 価値提案：商品やサービスの価値提案とネットワーク効果の関係性

2. ユーザーとインベントリ：ユーザーやインベントリの質とネットワーク効果の関係性

3. 競争環境：市場の競争状況とネットワーク効果の関係性

つまり、ネットワーク効果は一度確立すれば永続するものではなく、常に変化し続けるものだということです。企業は自社のネットワーク効果の現状と将来を的確に把握し、それに合わせて戦略を調整していく必要があるのです。

この記事は、従来のネットワーク効果の概念を否定するのではなく、より動的で現実に即した理解を促しているのだと思います。ネットワーク効果は今後もビジネスにおいて重要な役割を果たし続けるでしょうが、その理解と活用の仕方は大きく変わっていくはずです。

この記事の著者の観点をSubermodular Goodsの議論と照らし合わせて

この記事の著者の主張とSupermodular Goodsの概念は密接に関連しています。

Supermodular Goodsとは、多くの人に同時に提供する方が、個別に提供するよりも効率的な財のことを指します。つまり、規模の経済性が働く財です。ネットワーク効果は、まさにこのSupermodular Goodsの性質を表しています。ネットワークの利用者が増えるほど、そのネットワークの価値が高まるという性質は、Supermodular Goodsに共通するものです。

しかし、著者は現実のネットワーク効果がこの理論通りに働いていないことを指摘しています。Supermodular Goodsの理論では、ネットワーク効果によって「Winner-take-all（一人勝ち）」の市場が形成されるはずですが、実際にはそうなっていないというのです。

その理由として、著者は以下の3つの観点を挙げています。

1. 価値提案：商品やサービスの価値提案が変化することで、ネットワーク効果の強さも変化する

2. ユーザーとインベントリ：ユーザーやインベントリの質によって、ネットワーク効果の強さが左右される

3. 競争環境：競合他社の存在や市場の性質によって、ネットワーク効果の持続性が影響を受ける

つまり、Supermodular Goodsの理論だけでは、現実のネットワーク効果を十分に説明できないということです。ネットワーク効果は、様々な要因によって絶えず変化しているのです。

この主張は、Supermodular Goodsの概念自体を否定しているわけではありません。むしろ、Supermodular Goodsの理論を現実のビジネスに適用する際には、より動的で多面的な視点が必要だと訴えているのです。

企業はネットワーク効果を静的なものとして捉えるのではなく、常に変化し得るものとして理解する必要があります。そして、自社のネットワーク効果がどのような状態にあり、将来どのように変化していくかを予測し、それに合わせて戦略を調整していくことが求められるのです。

この記事は、Supermodular Goodsの理論とネットワーク効果の現実との間のギャップを浮き彫りにし、より現実に即したネットワーク効果の理解と活用の必要性を訴えていると言えるでしょう。